Question

已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）。
（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证△AOE′为直角三角形。

Answer 1

解：（1）AE'=BF； 证明：∵在正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴， 即， ∴， 又∵OA=OB=OD， ， ， ∴， ∴ ∴； （2）作△AOE′的中线AM， ∴， ∵， ∴， ∴△AOM为等边三角形， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴△AOE′为直角三角形。