Question

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=a，AD=b，点E、F分别是两腰AB、CD上的点，且EF∥AD，设AE=d₁、BE=d₂，
研究、发现：
（1）当

d1

d2

=

1

1

时，有EF=

a+b

2

；
当

d1

d2

=

1

2

时，有EF=

a+2b

3

；
当

d1

d2

=

1

3

时，有EF=

a+3b

4

；
（2）当

d1

d2

=

2

1

时，有EF=

2a+b

3

；当

d1

d2

=

3

1

时，有EF=

3a+b

4

；
当

d1

d2

=

4

1

时，有EF=

4a+b

5

．
填空：①当

d1

d2

=

1

4

时，有EF=

 

；当

d1

d2

=

1

n

时，EF=

 

．
猜想、证明
②

d1

d2

=

m

1

时，分别能得到什么结论（其中m、n均为正整数）并证明你的结论；
③进一步猜想当

d1

d2

=

m

n

时，有何结论（其中m、n均为正整数）写出你的结论．
解决问题
（3）如图2，有一块梯形木框ABCD，AD∥BC，AD=1米，BC=3米，AB=5米，要在中间加两个横档．操作如下：在AD上取两点E、F，使AE=2米，EF=1.5米，分别从E、F两处做与两底平行的横档EM、FN，求需要木条的总长．

Answer 1

分析：①根据上述具体式子，即可发现规律，写出结论；
②首先根据具体式子，发现规律，写出结论；作平行线，构造一个平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质进行求解；
③综合上述结论，即可猜想到EF的结果；
④利用上述结论，求得EM和FN的长．

解答：解：（1）当

d1

d2

=

1

4

时，EF=

a+4b

5

；
当

d1

d2

=

1

n

时，EF=

a+nb

n+1

；
当

d1

d2

=

m

1

时，EF=

ma+b

m+1

．
当

d1

d2

=

m

1

时，EF=

ma+b

m+1

．
证明：作AG∥CD交BC于点G，交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABG．
因为

d1

d2

=

m

1

，
所以，

EH

BG

=

m

m+1

，∴EH=

m

m+1

(a-b)，
∴EF=

m

m+1

(a-b)+b=

ma+b

m+1

．

（2）当

d1

d2

=

m

n

时，EF=

ma+nb

m+n

．

（3）因为AE：BE=2：3，由（2）中的结论可得：
EM=

2BC+3AD

2+3

=1.8（米）
由于AF：BF=3.5：1.5=7：3，
由（2）中的结论可得：
FN=

7BC+3AD

10

=

7×3+3×1

10

=2.4（米）
故两木条的总长度是1.8+2.4=4.2（米）．

点评：此题综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质，进行探索结论．能够根据探索的结论进行有关的计算．