Question

如图，在三角形ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，
（1）问几秒后三角形PBQ的面积为8平方厘米？
（2）经过几秒后三角形PBQ与三角形ABC相似？

Answer 1

解：（1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm²．

（2）解：设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一种情况：当 BP：AB=BQ：BC时，△PBQ与△ABC相似，
∴（6-a）：6=2a：8，
解得：a=2.4，
第二种情况：当 BP：BC=BQ：AB时，△PBQ与△ABC相似，
∴（6-a）：8=2a：6，
∴a=．
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2.4或秒钟，使△PBQ与△ABC相似．
分析：（1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6-x）×2x=8，求解即可；
（2）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况 BP：AB=BQ：BC和第二种情况 BP：BC=BQ：AB，代入求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定以及一元二次方程的应用、三角形面积的求法，是中考压轴题，难度较大．