Question

23、研究表明一种培育后能繁殖的细胞在一定的环境下有以下规律：若有n个细胞，经过第一周期后，在第1个周期内要死去1个，会新繁殖（n-1）个；经过第二周期后，在第2个周期内要死去2个，又会新繁殖（n-2）个；以此类推．例如，细胞经过第x个周期后时，在第x个周期内要死去x个，又会新繁殖（n-x）个．

周期序号	在第x周期后细胞总数
1	n-1+（n-1）=2（n-1）
2	2（n-1）-2+（n-2）=3（n-2）
3	3（n-2）-3+（n-3）=4（n-3）
4
5
…	…

（1）根据题意，分别填写上表第4、5两个周期后的细胞总数；
（2）根据上表，写出在第x周期后时，该细胞的总个数y（用x、n表示）；
（3）当n=21时，细胞在第几周期后时细胞的总个数最多，最多是多少个？

Answer 1

分析：（1）探索规律：x[n-（x-1）]-x+（n-x）=（x+1）（n-x）；
（2）y=（x+1）（n-x）；
（3）求出当n=21时，y的表达式，运用函数性质求最大值．

解答：解：由题意得
（1）4（n-3）-4+（n-4）=5（n-4）（2分）；
5（n-4）-5+（n-5）=6（n-5）（4分）；

（2）y=（x+1）（n-x）（8分）

（3）当n=21时，y=（x+1）（21-x）=-x²+20x+21=-（x-10）²+121
∵-1＜0，
∴y有最大值．（10分）
当x=10时，y_最大=121．（12分）

点评：（1）探求规律需循序渐进，不能操之过急；（2）运用二次函数性质求最值常用配方法或公式法．