Question

10．已知正方形ABCD，点E在直线AD上（不与点A、D重合），连接BE，做EF⊥BE，且EF=BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G．
（1）当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，如图1，求证：AB+AE=BG；
（2）当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，如图2，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明；
（3）当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上时，如图3，请直接写出线段AB，AE，BG之间的数量关系，不需要证明．

Answer 1

分析 （1）延长AD交GF的延长线于M，根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△ABE≌△MEF，得到AB=EM，证明结论；
（2）证明△ABE≌△HEF，得到AB=EH，证明结论；
（3）证明△ABE≌△NEF，得到AB=EN，证明结论．

解答 （1）证明：延长AD交GF的延长线于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，∠ABC=90°，又FG⊥BC，
∴四边形ABGM是矩形，
∴AM=BG，
∵∠A=90°，EF⊥BE，∠M=90°，
∴∠AEB=∠MFE，
在△ABE和△MEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M}\\{∠AEB=∠MFE}\\{EB=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MEF，
∴AB=EM，
∵AM=AE+EM=AE+AB，
∴AB+AE=BG；
（2）AB-AE=BG．
证明：∵∠FEH+∠BEA=90°，∠BEA+∠ABE=90°，
∴∠FEH=∠ABE，
在△ABE和△HEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EHF}\\{∠ABE=∠HEF}\\{EB=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△HEF，
∴EH=AB，
EH-AE═AB-AE=AH，
∵四边形ABGH是矩形，
∴AH=BG，
∴AB-AE=BG；
（3）AE=AB+BG．
证明：由（2）得，△ABE≌△NEF，
∴NE=AB，
∵AN+NE=AN+AB=AE，BG=AN，
∴AE=AB+BG．

点评 本题考查的是正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意类比思想在解题中的灵活运用．