Question

如图10，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O的直经BD=6，连结CD、AO、BC，且AO与BC相交于点E。

（1）求证：CD∥AO；

（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）请阅读下方资源链接内容。

在（2）的基础上，若CD、AO的长

分别为一元二次方程的两个实数根，求AB的长。

Answer 1

（1）证明：连接OC

∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠ACO=∠ABO=90°

 ∵OC=OB，∴由HL可得 Rt△ACO≌Rt△ABO，∴AB=AC， ∠1=∠2

∴AE⊥BC， ∴∠AEC=90°

∵BD是⊙O的直径，∴∠DCB=90°， ∴∠DCB=∠AEC， ∴CD∥AO

（2）解：∵CD∥AO， ∴∠3=∠4

  ∵AB是⊙O的切线，DB是直径，∴∠DCB=∠ABO=90°

∴△BDC∽△AOB ∴= ， ∴=， ∴y =

 ∵，∴自变量的取值范围为0<x<6 （3）解：∵CD、AO的长分别为一元二次方程的两个实数根

由求根公式可得，两根积为，

∴

又由（2）知y = ，∴，∴，∴

①当时，原方程可化为，∴

由（2）知，∴只能取

∴CD=3，AO=6，∴AB=

②当时，原方程可化为，

∵，∴方程无解

综上：AB的长为