Question

4．已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=4k²-12k+9，配方得到△=（2k-3）²，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k-3）²=0，解得k=$\frac{3}{2}$，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=$\frac{5}{2}$，则方程化为x²-6x+8=0，解得x₁=4，x₂=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．

解答 （1）证明：△=（2k+1）²-4×4（k-$\frac{1}{2}$）
=4k²+4k+1-16k+8，
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵（2k-3）²≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b=c时，△=（2k-3）²=0，解得k=$\frac{3}{2}$，方程化为x²-4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；
当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16-4（2k+1）+4（k-$\frac{1}{2}$）=0，解得k=$\frac{5}{2}$，方程化为x²-6x+8=0，解得x₁=4，x₂=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
所以△ABC的周长=4+4+2=10．

点评 本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．