Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CP与⊙O相切；
（2）若AB=10，AD=8，求DE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明直线CP与⊙O相切，只要证明OC⊥CP即可；
（2）连接BE交OC于F，设DE=x，根据已知可推出四边形DEFC是矩形，从而得到CF=DE=x；由已知可得到OF=AE=5-x=（8-x），从而可以得到DE的长．
解答：（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
又∵∠OAC=∠DAC，
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP，
∴直线CP与⊙O相切．

（2）解：连接BE交OC于F，
设DE=x；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥EB，
又∵OC∥AD，
∴OC⊥EB；
又∵AE⊥CP，即∠EDC=90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴CF=DE=x；
∵OC⊥EB，
∴点F是EB的中点；
又∵点O是AB的中点，
∴OF=AE；
∵OF=5-x，
∴5-x=（8-x），
∴x=2，
即DE=2．
点评：此题考查学生对切线的判定及三角形的中位线的理解及运用．要会根据中位线定理公式作为相等关系用方程的思想解题．