题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1 （a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x₁，x₂．那么
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，f（x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1；
（2）若|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围．

（1）证明：设g（x）=f（x）-x，则
g（x）=ax²+（b-1）x+1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵x₁＜2＜x₂＜4，
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，即x₁x₂＜2（x₁+x₂）-4；
∴x₀=- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x₁x₂＞ $\text{[math]}$ -（x₁+x₂）+2，
即 $\text{[math]}$ +2＞ $\text{[math]}$ ×（2+4）+2，
∴x₀＞-1；

（2）解：由方程g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，可知
x₁•x₂= $\text{[math]}$ ＞0，
∴x₁•x₂同号；
若0＜x₁＜2，则x₂-x₁=2，
∴x₂=x₁+2＞2g（2）=4a+2b-1＜0              ①
又∵|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂= $\text{[math]}$
=2，
∴2a+1= $\text{[math]}$ ，将其代入①，得
2 $\text{[math]}$ ＜3-2b                       ②
解②得，b＜ $\text{[math]}$ ；
若-2＜x₁＜0，则x₂=-2+x₁＜-2，
∴g（-2）=4a-2b+3＜0                       ③
将2a+1= $\text{[math]}$ 代入③，得
$\text{[math]}$ ＜2b-1                      ④
解④，得b＞ $\text{[math]}$ ；
综上所述，可知
b＜ $\text{[math]}$ 或b＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，然后根据根与系数的关系来证明；
（2）根据二次函数根与系数的关系来求b的取值范围．
点评：本题主要考查的是二次函数与一元二次方程的关系：当y=0时，ax²+bx+1=0即为一元二次方程．在解答此题时，主要利用了一元二次方程的根与系数的关系．