Question

如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE＝DG．

（1）求证：AE＝CG；

（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由.

 

Answer 1

解：（1）证明：在正方形ABCD中，

∵AD＝CD，

∴∠DAE＝∠DCG，

∵DE＝DG， ∴∠DEG＝∠DGE，

∴∠AED＝∠CGD．

在△AED和△CGD中，

∵∠DAE＝∠DCG，∠AED＝∠CGD，DE＝DG，

∴△AED≌△CGD，

∴AE＝CG．                                                                                                   4分

（2）解法一：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠DCG．

又∵AE＝CG，

∴△AEB≌△CGD，

∴∠AEB＝∠CGD．

∵∠CGD＝∠EGF，

∴∠AEB＝∠EGF，

∴ BE∥DF．                                                                                                  9分

解法二：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，

∵AD∥FC，

∴＝．

∵CG＝AE,

∴AG＝CE．

又∵在正方形ABCD中，AD＝CB，

∴＝．

又∵∠GCF＝∠ECB，

∴△CGF∽△CEB，

∴∠CGF＝∠CEB，

∴ BE∥DF．                                                                                                  9分