Question

【题目】综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．

折一折：把边长为4的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．如图①：为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在的点处，展开后连接，如图②

（一）做一做：

（1）图②中，求的度数和线段的长度．

（2）图②中，试判断的形状，并给出证明．

剪一剪、折一折：将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图③、图④．

（二）填一填：

（3）图③中阴影部分的周长为________．

（4）图③中，若，则__________．

（5）如图④点落在边上，若，则______（用含的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是等边三角形，理由详见解析；（3）12；（4）；（5）

【解析】

（1）由折叠得四边形CDEF是矩形，ED=AD=2，DN=CD=4，求出∠CDN=∠END=30°，

由折叠得∠CDM=∠NDM得到∠CDM=15°，根据∠CMD=90°-∠CDM求出度数，根据EN=，EF=CD=4，求出NF=；

（2）是等边三角形；由折叠得AE=DE，∠AEN=∠DEN=90°，证得，得到，再求出∠AND=90°-∠CDN=60°，即可得到△AND是等边三角形；

（3）根据等边三角形的性质得到AN=ND=AD=4，阴影部分的周长=NG+++DH+ND=AN+AD+ND即可求出答案；

（4）由，求出，利用四边形的内角和360°求出再根据邻补角求出答案；

（5）根据设，(b>0)，得到AN=ND=AD=b（m+n），证明△∽△，得到=，即可求出答案.

（1）由折叠得四边形CDEF是矩形，ED=AD=2，DN=CD=4，

∵∠DEF=90°，ED=DN,

∴∠END=30°，

∴∠CDN=∠END=30°，

由折叠得∠CDM=∠NDM，

∴∠CDM=15°，

∴∠CMD=90°-∠CDM=75°，

∵EN=，EF=CD=4，

∴NF=；

（2）是等边三角形；

证明：由折叠得AE=DE，∠AEN=∠DEN=90°，

又∵EN=EN，

∴，

∴，

∵∠AND=90°-∠CDN=60°，

∴△AND是等边三角形；

（3）∵△AND是等边三角形，

∴AN=ND=AD=4，

∴阴影部分的周长=NG+++DH+ND=AN+AD+ND=12，

故答案为：12；

（4）∵，

∴，

∵∠A=，

∴,

∴，

故答案为：；

（5）∵,

∴设，(b>0)，

∵△AND是等边三角形，

∴AN=ND=AD=b（m+n），

∵，

∴,

∵∠N=∠D=,

∴,

∴,

∴△∽△,

∴，

=．

∴，

故答案为：.