题目内容
【题目】若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（初步应用）
（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
（深入研究）
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【答案】（1）③④；（2）∠BCD＝140°；（3）∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【解析】
（1）根据题意，“巧妙四边形”需是邻边相等是四边形，由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，即可求∠BCD的度数；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解．
（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是：③④；
【初步应用】
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝70°＝∠BCA，
∴∠BCD＝140°，
【深入研究】
（3）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°
∴四边形AHCG是矩形，
AH＝CG＝
AB＝CD
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°
∴∠DAC＝∠DCA＝15°
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，且∠ACB＝30°
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图
∵AC＝AB＝AD＝CD
∴△ACD是等边三角形，
∠CAD＝∠ACD＝60°
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图
∵AB＝AD＝CD＝BC
∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形
∴∠BCD＝90°
综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°．
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【题目】我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．
组别 | 捐款额x/元 | 人数 |
A | 1≤x＜10 | |
B | 10≤x＜20 | 100 |
C | 20≤x＜30 | |
D | 30≤x＜40 | |
E | x≥40 |
（1）a= ，本次抽样调查样本的容量是 ；
（2）补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元．
