Question

【题目】已知抛物线

（1）若求该抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若，是否存在实数,使得相应的y=1，若有，请指明有几个并证明你的结论，若没有，阐述理由。

（3）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值。

Answer 1

【答案】（1），和；（2）即存在两个不同实数，使得相应；（3）或.

【解析】

（1）先将a=b=1，c=-1代入y=3ax2+2bx+c，得到抛物线为y=3x2+2x-1，再用因式分解法求出方程3x2+2x-1=0的两个根，即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；

（2）将y=1代入y=3ax2+2bx+c，得到3ax2+2bx+c=1，则△=4b2-12a（c-1），再将c-1=-a-b代入△，整理得到△=，由a≠0，得出△＞0，根据一元二次方程根与系数的关系可知方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根，即存在两个不同实数x0，使得相应的y=1；

（3）先将代入y=3ax2+2bx+c，得到抛物线为y=x2+2bx+b+2，根据二次函数的性质求出其对称轴为x=-b，再分三种情况进行讨论：①x=-b＜-2；②x=-b＞2；③-2≤-b≤2．

解（1）当，时，抛物线为，

∵方程的两个根为，．

∴该抛物线与轴公共点的坐标是和；

（2）存在两个不同实数x0，使得相应的y=1．理由如下：

由得， 即，

，

，

∴，

所以方程有两个不相等实数根，

即存在两个不同实数，使得相应；

（3），则抛物线可化为，其对称轴为，分三种情况：

①当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时，解得，合题意；

②当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时，解得，不合题意，舍去；

③当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时，化简得：，解得：（不合题意，舍去），；

综上：或.