Question

（2013•思明区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙A与边AB、AC交于点D、E，劣弧

DE

的长为

4π

3

．P是⊙A上的一点，且∠DPE=60°
（1）求⊙A的半径；
（2）若BC=4

3

，判断边BC与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理求得劣弧

DE

所对的圆周角∠DAE=120°，所以根据弧长的计算公式l=

nπr

180

来求该圆的半径；
（2）BC与⊙A相切．如图，过点A作AF⊥BC于点F，欲证明BC与⊙A相切，只需证得AF=r即可．

解答：（1）解：设⊙O的半径为r．
∵∠DPE=60°，
∴∠DAE=120°
∵劣弧

DE

的长为

4π

3

，设⊙A的半径为r，
∴

nπr

180

=

4π

3

，即

120πr

180

=

4π

3

∴r=2；

（2）BC与⊙A相切．
如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，AF⊥BC  BC=4

3

∴BF=

1

2

BC=2

3

，
∠BAF=

1

2

∠BAC=60°，
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠BAF=60°
∴tan∠BAF=

BF

AF

，即

2 3

AF

=

3

．
∴AF=2=r．
∴BC与⊙A相切．

点评：本题考查了切线的判定、弧长的计算．切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．