Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，D为BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD，若CD=DE=1，则AB的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先根据线段垂直平分线的判定得出AD平分∠BAC，在△ADE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，在△ADC中利用勾股定理求出AC，然后在△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC=2$\sqrt{3}$．

解答 解：∵在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，垂足为E，CD=DE=1，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵在△ADE中，∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴AD=2DE=2，
∵在△ADC中，∠C=90°，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=90°-∠BAC=30°，
∴AB=2AC=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了勾股定理，根据线段垂直平分线的判定得出∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°是解题的关键．