Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)．

(1)求抛物线的表达式及A，B两点的坐标．

(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求AP＋CP的最小值；若不存在，请说明理由；

(3)在以AB为直径的⊙M中，CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的表达式．

Answer 1

【答案】 (1) y＝x2－x＋2,A(2，0)，B(6，0)．(2)存在，AP＋CP的最小值为2;(3)直线CE的表达式为y＝－x＋2.

【解析】试题分析：（1）根据知抛物线的顶点坐标,设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣，再根据抛物线经过（0，2）求出抛物线解析式，进而求出A、B两点的坐标；（2）存在，线段BC的长即为AP+CP的最小值，求得BC的长即可；（3）连接ME，根据已知条件易证△COD≌△MED.根据全等三角形的性质可得OD＝DE，DC＝DM.设OD＝x，则CD＝DM＝OM－OD＝4－x.在Rt△COD中，根据勾股定理列出方程x2＋22＝(4－x)2.解方程求得x的值，即可得点D的坐标，利用待定系数法求得直线EC的解析式即可

试题解析：

(1)由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x－4)2－ (a≠0)．

∵抛物线经过点C(0，2)，

∴a(0－4)2－＝2，

解得a＝.

∴y＝ (x－4)2－，

即y＝x2－x＋2.

当y＝0时， x2－x＋2＝0，

解得x1＝2，x2＝6，

∴A(2，0)，B(6，0)．

(2)存在，由(1)知，抛物线的对称轴l为直线x ＝4.

∵A，B两点关于l对称，

连接CB交l于点P，连接AP，则AP＝BP，

∴AP＋CP＝BC的值最小．

∵B(6，0)，C(0，2)，

∴OB＝6，OC＝2.

∴BC＝＝2.

∴AP＋CP＝BC＝2.

∴AP＋CP的最小值为2.

(3)连接ME，∵CE是⊙M的切线，

∴CE⊥ME.

∴∠CEM＝90°.

∴∠COD＝∠DEM＝90°.

由题意，得OC＝ME＝2，

∠ODC＝∠MDE，

∴△COD≌△MED.

∴OD＝DE，DC＝DM.

设OD＝x，

则CD＝DM＝OM－OD＝4－x.

在Rt△COD中，OD2＋OC2＝CD2，

∴x2＋22＝(4－x)2.

∴x＝.

∴D.

设直线CE的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，

∵直线CE过C(0，2)，

D两点，

则

解得

∴直线CE的表达式为y＝－x＋2.