Question

如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；

（2）求EF•EC的值；

（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

Answer 1

（1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，

∵E是弧AB的中点，

∴OE⊥AB，

∴∠EHF=90°，

∴∠HEF+∠HFE=90°，

而∠HFE=∠CFD，

∴∠HEF+∠CFD=90°，

∵DC=DF，

∴∠CFD=∠DCF，

而OC=OE，

∴∠OCE=∠OEC，

∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，

∴OC⊥CD，

∴直线DC与⊙O相切；

 

（2）解：连结BC，

∵E是弧AB的中点，

∴弧AE=弧BE，

∴∠ABE=∠BCE，

而∠FEB=∠BEC，

∴△EBF∽△ECB，

∴EF：BE=BE：EC，

∴EF•EC=BE²=（r）²=r²；

 

（3）解：如图2，连结OA，

∵弧AE=弧BE，

∴AE=BE=r，

设OH=x，则HE=r﹣x，

在Rt△OAH中，AH²+OH²=OA²，即AH²+x²=r²，

在Rt△EAH中，AH²+EH²=EA²，即AH²+（r﹣x）²=（r）²，

∴x²﹣（r﹣x）²=r²﹣（r）²，即得x=r，

∴HE=r﹣r=r，

在Rt△OAH中，AH===，

∵OE⊥AB，

∴AH=BH，

而F是AB的四等分点，

∴HF=AH=，

在Rt△EFH中，EF===r，

∵EF•EC=r²，

∴r•EC=r²，

∴EC=r．