题目内容
（1）观察图1，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=______．
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，直接写出∠A的度数为______．
解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由如下：
连接AD并延长到E点
∵∠BDE=∠BAE+∠B
∠EDC=∠EAC+∠C
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠B+∠C
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC
∠BAC=∠BAE+∠EAC
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因为∠A=50°，∠BXC=90°，
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
故答案是：40°；
②由（1）的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=
（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；
③如图4，∠BG1C=
（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴
（140-x）+x=77，14-
x+x=77，x=70
∴∠A为70°．
故答案是：70°．
分析：（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=
（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由（2）的方法，进而可得答案．
点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
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（本题10分）问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为 ．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
①填写下表，画出函数的图象：
②观察图象，试描述该函数的增减性(y随x变化发生什么变化）；③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过
配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
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①填写下表，画出函数的图象：
| x | …… |  |  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
| y | …… | | | | | | | | …… |
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| x | …… |  |  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
| y | …… | | | | | | | | …… |
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配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题
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x |
…… |
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1 |
2 |
3 |
4 |
…… |
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y |
…… |
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…… |
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③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过
配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
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