Question

若

a+b

c

=

b+c

a

=

c+a

b

，那么

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

的值等于

 

．

Answer 1

分析：观察

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

与

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

发现，后者是通过前者相乘得来．那么只要找出

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

的值解出，因此设

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

=k通过变换化为（a+b+c）（k-2）=0那么可能是a+b+c=0或k=2对这两种情况分别讨论．

解答：解：
设若

a+b

c

=

b+c

a

=

c+a

b

=k，
则a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb
（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb
2（a+b+c）=k（a+b+c）
即（a+b+c）（k-2）=0
所以a+b+c=0或k=2
①当a+b+c=0时，则a+b=-c，

a+b

c

=-1，同理

b+c

a

=-1、

c+a

b

=-1
所以

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

(a+b)

c

×

(b+c)

a

×

(c+a)

b

=(-1)×(-1)×(-1)=-1
②当k=2时，

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

=2
所以

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

(a+b)

c

×

(b+c)

a

×

(c+a)

b

=2×2×2=8
故答案为8或-1

点评：做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

=k，做到这步已经成功了一半．因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系．