Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）连接DE，DE=

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，求EM的长．

Answer 1

分析：（1）将乘积式化为比例式，然后证对应的三角形相似即可，即连接BE、AC，证△ACM∽△EBM；
（2）M是OB的中点，由此可求出AM、BM的长；Rt△DEC中，由勾股定理易求得EC的长，进而可用EM表示出MC，再将这些数据代入（1）的乘积式中，即可求出EM的长．

解答：（1）证明：连接BE、AC．
由圆周角定理，得：∠MEB=∠MAC，∠MBE=∠MCA
∴△MEB∽△MAC
∴

AM

EM

=

MC

MB

，即AM•MB=EM•MC；

（2）解：∵M是OB的中点，
∴OM=MB=2，AM=OA+OM=6
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°
Rt△DEC中，DE=

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，CD=8
由勾股定理，得：CE=7
∴MC=CE-EM=7-EM
由（1）知：AM•MB=EM•MC，即：
（7-EM）×EM=6×2，解得EM=4（EM＞MC）
所以EM的长为4．

点评：此题主要考查的是圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定和性质．