题目内容
【题目】y＝﹣2x+4直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣
（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）经过点A，交x轴于另一点C，如图所示．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+8x﹣12；（2）①
；②t的值为1﹣
或
【解析】
（1）先由直线解析式求得点A、B的坐标，将点A坐标代入抛物线解析式可求出m的值，从而得出答案；
（2）①由（1）可求得AD＝CD＝2
，继而得∠DAC＝∠DCA，由BD∥AC可得∠DPE＝∠PQA，再结合已知∠DPE＝∠DAC，可证明四边形PDQC是平行四边形，∴PD＝QC
于是得出关于t的方程4﹣2t＝3t，解方程即可；
②分点N在AB上和点N在AD上两种情况进行讨论求解. 当点N在AB上时，先用t表示出PN＝2BP＝4t＝ME，再依次表示出DE＝
，AE＝2﹣2t，再由BD∥OC得
，代入即得
，解出方程即可（注意取舍）；点N在AD上时，先证明点E、N重合，得PQ⊥BD，于是BP＝OQ，由此可得关于t的方程，解出即得结果.
解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴点B坐标（0，4）
当y＝0时，x＝2
∴点A（2，0）
∵抛物线y＝﹣
（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）经过点A，
∴0＝﹣（2﹣m）（2﹣6）
∴m1＝2，m2＝0（不合题意舍去）
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12
（2）①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，
∴顶点D（4，4）
∵点B坐标（0，4）
∴BD∥OC，BD＝4，
∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C
∴点C（6，0），点A（2，0）
∴AC＝4
∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0）
∴AD＝CD＝2，
∴∠DAC＝∠DCA
∵BD∥AC
∴∠DPE＝∠PQA，
且∠DPE＝∠DAC
∴∠PQA＝∠DAC
∴∠PQA＝∠DCA
∴PQ∥DC，且BD∥AC
∴四边形PDQC是平行四边形
∴PD＝QC
∴4﹣2t＝3t
∴t＝
②如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1
∵BD∥OC
∴∠DBA＝∠OAB，
∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4）
∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4
∴∠ABD＝∠ADB，
∴tan∠OAB＝
＝tan∠DBA＝
∴PN＝2BP＝4t，
∴ME＝PN＝4t，
∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝
＝2
∴MD＝2t
∴DE＝
∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2t
∵BD∥OC
∴
∴
∴5t2﹣10t+4＝0
∴t1＝1+（不合题意舍去），t2＝1﹣
如图，若点N在AD上，即1＜t
∵PN＝EM，
∴点E、N重合，此时PQ⊥BD，
∴BP＝OQ，
∴2t＝6﹣3t，
解得：t＝，
综上所述：当PN＝EM时，t的值为1﹣或．
