Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；

（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；

（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝＝﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．

解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，

∴点A坐标为（1，4），

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．

故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；

（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，

∴CE＝＝＝5，

当∠QPC＝90°时，

∵cos∠QPC＝，

∴，解得t＝；

当∠PQC＝90°时，

∵cos∠QCP＝，

∴，解得t＝．

∴当t＝或 t＝时，△PCQ为直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有：

，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，

∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+ 代入y＝﹣（x﹣1）2+4 中，得y＝4﹣．

∴Q点的纵坐标为4﹣，

∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，

∴S△ACQ ＝S△AFQ +S△CFQ

＝FQAG+FQDG，

＝FQ（AG+DG），

＝FQAD，

＝×2（t﹣），

＝﹣（t﹣2）2+1，

∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．