Question

如图，以AC为直径的⊙D与x轴交于A、B两点，A、B的坐标分别为（-2，0）和（1，0），BC=

3

．设直线AC与直线x=2交于点E．
（1）求以直线x=2为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数解析式，并判断此抛物线是否过点E，说明理由；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先判断BC⊥AB，然后求出点C坐标，根据抛物线的对称轴为x=2，可设抛物线解析式是y=a（x-2）²+k，将（0，0）及点C的坐标代入可得出a、k的值，继而得出抛物线解析式，求出点E的坐标后，代入即可判断此抛物线是否过点E．
（2）根据题意画出图形，抛物线与x轴的另一个交点N（4，0），设M（x，y），过C，M分别作x轴的垂线，垂足为G，H，则根据S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN，可得△CMN的面积关于x、y的表达式，将y=-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

，代入可得△CMN的面积关于x的表达式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）∵AC为⊙D的直径，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得点C（1，

3

），
设抛物线解析式是y=a（x-2）²+k，
将（0，0）、（1，

3

）得：

4a+k=0 a+k= 3

，
解得：

a=- 3 3 k= 4 3 3

，
故抛物线的解析式为：y=-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

，
设直线x=2与x轴交于点F，则CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴

AB

AF

=

CB

EF

，即

3

4

=

3

EF

，
∴EF=

4 3

3

，
∴E（2，

4 3

3

），
当x=2时，y=-

3

3

(2-2)2+

4 3

3

=

4 3

3

，
∴抛物线经过点E．

（2）抛物线与x轴的另一个交点N（4，0），设M（x，y），
过C，M分别作x轴的垂线，垂足为G，H，
S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN
=

1

2

（y+

3

）（x-1）+

1

2

y（4-x）-

1

2

×3×

3

=

3y

2

+

3

2

x-2

3

=

3

2

[-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

]+

3

2

x-2

3

=-

3

2

x2+

5 3

2

x-2

3

=-

3

2

（x-

5

2

）²+

9 3

8

（1≤x≤4），
当x=

5

2

时，S_△CMN的最大值是

9

8

3

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，难点在第二问，关键是作出图形，得出面积关于x的表达式，要求同学们熟练配方法求二次函数最值的应用．