Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G.

(1)求证：△ABE∽△EGB.

(2)若AB＝4，求CG的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)CG=6.

【解析】

(1)由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；

(2)由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE＝，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝10，即可得出结果.

(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，

∴∠A＝∠BEG，

∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，

∴∠ABE＝∠G，

∴△ABE∽△EGB；

(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，

∴AE＝DE＝2，

在Rt△ABE中，BE＝，

由(1)知，△ABE∽△EGB，

∴，即：，

∴BG＝10，

∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6.