Question

如图，已知∆ABC是等边三角形，边长为10，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且AD=BE=CF,

（1）设AD为x，△ADF的面积为y，当x为何值时，△ADF的面积最大，最大面积是多少？

（2）当x为何值时，△ADF是直角三角形？

Answer 1

解：(1)因为AD为x，AD=BE=CF,所以AF=10－x……………1分

过F作AB的垂线，垂足为H……………2分

因为∆ABC是等边三角形，所以∠A=60°,则FH=AF×sin60°=(10－x)×…………3分

所以y=(10－x) ×=－+5x……………4分

所以x=－==……………5分

y=－+5×=－+=……………6分

所以当x=，△ADF的面积最大，最大面积是平方单位……………7分

（2）如果△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角根据勾股定理的逆定理得：+=

则+=

解得：（舍去），=……………8分

如果△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，根据勾股定理的逆定理得：+=

则+=，此方程无实数解……………9分

所以当x=时，△ADF是直角三角形. ……………10分