Question

【题目】如图，点B的坐标是（4，4），作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C，反比例函数（k＞0）的图象经过BC的中点E，与AB交于点F，分别连接OE、CF，OE与CF交于点M，连接AM．

（1）求反比例函数的函数解析式及点F的坐标；

（2）你认为线段OE与CF有何位置关系？请说明你的理由．

（3）求证：AM=AO．

Answer 1

【答案】（1）y=，点F的坐标是（4，2）；（2）线段OE与CF的位置关系是OE⊥CF，理由见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）求出E的坐标，求出反比例函数的解析式，把x=4代入即可求出F的坐标；

（2）证△OCE≌△CBF，推出∠COE=∠BCF，求出∠ECF+∠CEO=90°即可；

（3）过M作MN⊥OC于N，证△CMO和△ECO相似，求出CM、OM，根据三角形的面积公式求出MN，根据勾股定理求出ON，得出M的坐标，根据勾股定理求出AM的值即可．

（1）解：∵正方形ABCO，B（4，4），E为BC中点，

∴OA=AB=BC=OC=4，CE=BE=2，F的横坐标是4，

∴E的坐标是（2，4），

把E的坐标代入y=得：k=8，

∴y=，

∵F在双曲线上，

∴把F的横坐标是4代入得：y=2，

∴F（4，2），

答：反比例函数的函数解析式是y=，点F的坐标是（4，2）．

（2）线段OE与CF的位置关系是OE⊥CF，

理由是：∵E的坐标是（2，4），点F的坐标是（4，2），

∴AF=4﹣2=2=CE，

∵正方形OABC，

∴OC=BC，∠B=∠BCO=90°，

∵在△OCE和△CBF中

，

∴△OCE≌△CBF，

∴∠COE=∠BCF，

∵∠BCO=90°，

∴∠COE+∠CEO=90°，

∴∠BCF+∠CEO=90°，

∴∠CME=180°﹣90°=90°，

即OE⊥CF．

（3）证明：∵OC=4，CE=2，由勾股定理得：OE=2，

过M作MN⊥OC于N，

∵OE⊥CF，

∴∠CMO=∠OCE=90°，

∵∠COE=∠COE，

∴△CMO∽△ECO，

∴==，

即==，

解得：CM=，OM=，

在△CMO中，由三角形的面积公式得：×OC×MN=×CM×OM，

即4MN=×，

解得：MN=，

在△OMN中，由勾股定理得：ON==，

即M（，），

∵A（4，0），

∴由勾股定理得：AM=4=AO，

即AM=AO．