Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以线段AB上的点O为圆心，0B为半径作圆O，分别与边AB，BC相交于D、E两点，过点E作EF⊥AC于F.

(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由.

(2)若OB=3，cosB＝，求线段BE的长.

Answer 1

【答案】(1)直线EF与⊙O相切；(2)BE=2.

【解析】

(1) 连结OE，根据等边对等角得出∠OEB＝∠C，可以推出OE∥AC，再根据EF⊥AC即可得出EF是⊙O的切线；

（2）连结DE，由题意得出∠BED＝90°，再根据特殊角的三角函数值即可求得BE.

解:(1)直线EF与⊙O相切. 理由如下:

如图，连结OE.

∵OB＝OE，AB＝AC，

∴∠B＝∠OEB，∠B＝∠C，

∴∠OEB＝∠C.

∴OE∥AC.

又∵EF⊥AC，

∴OE⊥EF.

又∵点E在圆上，

∴EF是⊙O的切线.

(2)如图，连结DE.

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BED＝90°.

在Rt△BDE中，BD＝2OB＝6，cosB=，

∴BE＝BD·cosB＝2.