Question

【题目】（1）问题发现

如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．

填空：

①∠AEC的度数为　 　；

②线段AE、BD之间的数量关系为　 　．

（2）拓展探究

如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=2，点P在以AC为直径的半圆上，AP=1，①∠DPC=　 °； ②请直接写出点D到PC的距离为　 ．

Answer 1

【答案】（1）①120°；②AE=BD；（2）∠AEB=90°，BM=AE+CM，理由见解析；（3）①45；②.

【解析】

（1）①根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△ECA≌△DCB，再利用全等三角形的性质与外角的性质得出结论；

②由①可得AE=BD；

（2）利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△ECA≌△DCB，再利用全等三角形的性质与外角的性质得出结论；

（3）①①四边形ABCD为正方形，点P在以AC为直径的半圆上，易得A，P，C，D四点共圆，则∠DPC=∠DAC=45°；

②有勾股定理得到PC=，再利用等腰直角三角形得出DM=PM，进而利用勾股定理得出点D到PC的距离.

（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴CE=CD，CA=CB，∠ECA=60°﹣∠ACD，∠DCB=60°﹣∠ACD，

在△ECA与△DCB中，

，

∴△ECA≌△DCB（SAS），

∴∠AEC=∠BDC=∠CED+∠CDE=60°+60°=120°，

故答案为：120°；

②∵△ECA≌△DCB，

∴AE=BD，

故答案为：AE=BD；

（2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，

∴∠ECA=90°﹣∠ACD，∠DCB=90°﹣∠ACD，

∴∠ECA=∠DCB，

在△ECA与△DCB中，

，

∴△ECA≌△DCB（SAS），

∴∠AEC=∠BDC=135°，BD=AE，

∴∠AEB=∠AEC﹣∠BEC=135°﹣45°=90°，

∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，

∴CM=MD，

∵BM=BD+DM，

∴BM=AE+CM；

（3）①四边形ABCD为正方形，点P在以AC为直径的半圆上，

∴∠APC+∠ADC=90°+90°=180°，

∴A，P，C，D四点共圆，

∴∠DPC=∠DAC=45°，

故答案为：45；

②如图，过点D作DM⊥PC，垂足为M，

∵在正方形ABCD中，CD=2，点P在以AC为直径的半圆上，AP=1，

∴AC=2，PC===，

∵∠DPC=45°，

∴DM=PM，

设DM=PM=x，则MC=﹣x，

在Rt△DMC中，

DM2+MC2=DC2，

则x2+（﹣x）2=22，

整理得：2x2﹣2x+3=0，

解得；x1=，x2=（不符合题意舍去），

即点D到PC的距离为：．

故答案为：．