Question

【题目】如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．

（1）如图1，求证：AN＝BM；

（2）如图2，将△ACM绕点C按逆时针方向旋转180°，使点A落在CB上，结论“AN＝BM”是否还成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；

（3）在（2）所得的图形中，设MA的延长线交BN于D（如图3），试判断△ABD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）△ABD是等边三角形．

【解析】

（1）证明△ACN≌△MCB（SAS）即可解决问题；
（2）证明△ACN≌△MCB（SAS）即可解决问题；
（3）根据三个角是60°的三角形是等边三角形即可证明．

（1）证明：如图1中，

∵△ACM，△BCN都是等边三角形，

∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，

∴∠ACN＝∠MCB，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN＝BM．

（2）解：结论仍然成立．

理由：∵△ACM，△BCN都是等边三角形，

∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACN＝∠MCB＝60°，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN＝BM．

（3）结论：△ABD是等边三角形．

理由：∵△ACM是等边三角形，

∴∠BAD＝∠CAM＝60°，

∵∠ABD＝60°，

∴∠DAB＝∠DBA＝∠ADB＝60°，

∴△ABD是等边三角形．