Question

【题目】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判断CD与圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠CBD=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）判断CD与圆O相切，理由见解析；（2）2π．

【解析】

（1）连接OD，根据圆周角定理得∠BDO+∠ODA=90°，因为∠CDA=∠DBC，∠DBC=∠BDO，所以∠ODA+∠CDA=90°，即可证得结论；

（2）求得△OCD的面积和扇形OAD的面积，二者的差 就是阴影部分的面积.

（1）CD与圆O的位置关系是相切，

理由是：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

即∠BDO+∠ODA=90°，

∵OD=OB，

∴∠DBC=∠BDO，

∵∠CDA=∠DBC，

∴∠CDA=∠BDO，

∴∠ODA+∠CDA=90°，

即OD⊥DC，

∵OD过O，

∴CD与圆O的位置关系是相切；

（2）∵∠DBC=30°，∠BDO=∠DBC，

∴∠BDO=30°，

∴∠DOA=30°+30°=60°，

∵∠ODC=90°，

∴DC=OD×tan60°=2，

∴阴影部分的面积S=S△ODC﹣S扇形DOA=×2×2﹣=2﹣π．