Question

4．已知x₁，x₂是方程x²-（2k-1）x+k²+1=0的两个实数根，则x₁²+x₂²的最小值是$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 先根据判别式的意义确定k≤-$\frac{3}{4}$，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+1，则利用完全平方公式变形得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（k-1）²-3，然后根据二次函数的性质在k的取值范围内求最小值．

解答 解：根据题意得△=（2k-1）²-4（k²+1）≥0，解得k≤-$\frac{3}{4}$，
x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+1，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2k-1）²-2（k²+1）=2（k-1）²-3，
当k=-$\frac{3}{4}$时，x₁²+x₂²有最小值，最小值=2×（-$\frac{3}{4}$-1）²-3=$\frac{25}{8}$．
故答案为$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了二次函数的最值．