Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）求EM的长．

Answer 1

证明：（1）∵AB、CE是⊙O内的两条相交弦，
∴AM•MB=EM•MC；
（2）∵M是OB中点，圆半径R=4，
∴OM=MB=2，
∴AM=6，
∵CD是直径，
∴∠CED=90°，
∴CE²=CD²-DE²，
∴CE==7，
设EM=x，6×2=x•（7-x），
解得x=3或x=4，
∵EM＞MC，
∴EM=4．
分析：（1）直接根据相交弦定理可得AM•MB=EM•MC；
（2）根据M是OB中点，再结合⊙O半径等于4，易求BM、AM，而CD是直径，于是∠CED=90°，根据勾股定理易求CE，再结合（1）中AM•MB=EM•MC，设EM=x，易得6×2=x•（7-x），解关于x的方程可得x=3或4，而EM＞MC，从而可求EM=4．
点评：本题考查了相交弦定理、勾股定理、解一元二方程，解题的关键是注意先求出BM，以及CE．