题目内容
如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.
解：（1）△HAB ，△HGA。
（2）∵△AGC∽△HAB，∴
，即
。
∴
。
又∵BC=
。
∴y关于x的函数关系式为
。
（3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1，
可知
。
②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，
在△HGA和△AGC中
∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450，
∴△HGA∽△AGC。
∵AG=AH，∴
∴当
或
时，△AGH是等腰三角形。
【解析】（1）在△AGC和△HAB中，
∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC，
∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC，
∴∠AGC=∠BAH。
又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。
在△AGC和△HGA中，
∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，
∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF，
∴∠CAG=∠H。
又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。
（2）利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。
（3）考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。
53随堂测系列答案
已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD．
如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD∥BC，E是AB的中点，BE=AD．
13、如图，△DEF是由△ABC平移得到的，若BC=6cm，E是BC的中点，则平移的距离是
方作等边△CDE，连接BE．
如图，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的