Question

如图，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的

 

．

Answer 1

分析：首先连接OG，根据垂径定理的知识，易证得Rt△OCG≌Rt△OCF，设OG=a，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形OFCG的面积与△ABC的面积，继而求得答案．

解答：解：连接OC，
∵AB=BC=CA，
∴∠ACB=60°，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴CG=

1

2

AC，CF=

1

2

BC，
∴CG=CF，
∵OC=OC，
∴Rt△OCG≌Rt△OCF，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴OG=

1

2

OC，
设OG=a，OC=2a，CG=

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC•

3

2

BC=

1

2

×2

3

a×

3

2

×2

3

a=3

3

a²，
S_{四边形CGOF}=S_△OCG+S_△OCF=2S_△OCG=2×

1

2

×a×

3

a=

3

a²，
∴阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．