Question

如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E为AD边上的一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的点F处，则cos∠CEF=

5

5

．

Answer 1

分析：根据矩形的性质得DC=AB=10，AD=BC=8，∠A=∠B=90°，再根据折叠的性质得CF=CD=10，∠CEF=∠DEC，ED=EF；在Rt△BFC中利用勾股定理计算出BF=6，
则AF=4，设DE=x，则AE=8-x，EF=x，然后在Rt△AEF中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程得到x的值，接着再利用勾股定理计算出CE，再根据余弦的定义求解．

解答：解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=10，AD=BC=8，∠A=∠B=90°，
∵沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的点F处，
∴CF=CD=10，∠CEF=∠DEC，ED=EF，
在Rt△BFC中，BC=8，CF=10，
∴BF=

CF2-BC2

=6，
∴AF=AB-BF=4，
设DE=x，则AE=8-x，EF=x，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，即（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
在Rt△DEC中，DE=5，DC=10，
∴EC=

DE2+DC2

=5

5

，
∴cos∠DEC=

DE

EC

=

5

5 5

=

5

5

，
即cos∠CEF=

DE

EC

=

5

5 5

=

5

5

．
故答案为

5

5

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和余弦的定义．