题目内容
一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为
10 cm的圆盘，当滚动到与坡面BC开始相切时停止．其中AB＝80 cm，BC与水平面的夹角为60°．
(1)求出圆盘在AB上滚动一圈时，其圆心所经过的路线的长度(π取3.14)；
(2)当圆盘从点A滚动到与BC开始相切时停止，其圆心所经过的路线长大约是多少(精确到0.1 cm)？
答案：
解析：
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解：圆盘在 AB上滚动的任何时刻，圆心O到地面AB的距离都等于半径，所以圆心经过的路线在一条平行于AB且与AB相距10 cm的直线上．(1)圆盘在AB上滚动一圈时，圆心经过的路线刚好等于圆的周长，这个长度是2π×10≈2×3.14×10＝62.8(cm)． (2)当圆盘滚动到与BC开始相切时，设圆心为点  ，⊙与AB、BC的切点分别为点D、E．
连接 D、E、B，则D⊥AB，E⊥BC，BD＝BE，∠BD＝∠BE．
因为 BC与水平面的夹角为60°，所以∠ABC＝120°．所以∠ BD＝∠BE＝ ∠ABC＝60°．
在 Rt△DB中，∠DB＝30°，所以B＝2DB．
由勾股定理，得 D2＝B2－DB2＝(2DB)2－DB2＝3DB2＝100．
解得 DB＝ ≈5.8(cm)．
所以 O＝AD＝AB－DB≈80－5.8＝74.2(cm)，即圆盘滚动到与BC开始相切时，圆心经过的路线长大约是74.2 cm．
点评：本题以生活中常见的圆盘滚动为载体，考查了直线与圆相切、勾股定理等知识的综合应用，突出了从实际问题中抽象并建立数学模型的能力． |
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