Question

8．一列数：a₁，a₂，a₃，…a_n，…，其中a₁=$\frac{4}{3}$，a₂=$\frac{13}{9}$，且当n≥3时，a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-a_n-2），用含n的式子表示a_n的结果是$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 根据a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-a_n-2），依次写出相邻两项之差，再左右两边同时累加得出a_n-a₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$，令$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=A，A-$\frac{1}{3}$A得出A的值，将其代入a_n-a₁中，表示出a_n即可．

解答 解：∵a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-a_n-2），
∴有a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-{a}_{n-2}）$=（$\frac{1}{3}$）^n-2（a₂-a₁），a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{3}（{a}_{n-2}-{a}_{n-3}）$=（$\frac{1}{3}$）^n-3（a₂-a₁），…，a₃-a₂=$\frac{1}{3}（{a}_{2}-{a}_{1}）$，a₂-a₁=$\frac{1}{9}$=$（\frac{1}{3}）^{2}$，
左右两边同时累加得a_n-a₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$，
令$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=A，则$\frac{1}{3}$A=$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$…+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
A-$\frac{1}{3}$A=$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，解得：A=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
∴a_n=A+a₁=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了规律型中得数字的变化类，解题的关键是找出a_n-a₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$．本题属于中档题，难度不大，因为初中没有学过等比数列的求和公式，故此处用错位相减法来推导出结论．