题目内容
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠C=90°，tan∠ABC=2，点D（-8，6），将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点E处，直线AE交x轴于点F．
（1）求点F的坐标；
（2）矩形AOCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，当点C′与点F重合时停止运动，运动后的矩形A′O′C′D′与△AOF重合部分的面积为S，设运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在矩形A′O′C′D′运动过程中，直线A′O′与射线AB交于G，是否存在时间t，使点A关于直线FG的对称点恰好落在x轴上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
（1）求点F的坐标；
（2）矩形AOCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，当点C′与点F重合时停止运动，运动后的矩形A′O′C′D′与△AOF重合部分的面积为S，设运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在矩形A′O′C′D′运动过程中，直线A′O′与射线AB交于G，是否存在时间t，使点A关于直线FG的对称点恰好落在x轴上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据矩形的判定与性质，可得AO的长，根据正切三角函数，可得OB的长，根据翻折的性质，可得△AOB≌△AEB，根据全等三角形的性质，可得BE=OB=3，∠AEB=∠AOF=90°，根据相似三角形的判定与性质，可得BF与AF的关系，根据勾股定理，可得答案；
（2）分类讨论，当0≤t≤8时，重合部分是梯形，根据相似三角形的判定与性质，可得梯形的上底、高，根据梯形的面积公式可得答案；当8＜t≤16时，重合部分是三角形，根据相似三角形的判定与性质，可得三角形的高，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论，对称点在x轴的负半轴时，根据G点三角形角平分线的交点，可得G点是内心，根据三角形面积的不同表示方法，可得答案；对称点在x轴的正半轴时，根据轴对称的性质，可得FA″=AF=10，根据相似三角形的判定与性质，可得NF、FT、NT的长，根据待定系数法，可得直线解析式，根据解方程组，可得答案．
（2）分类讨论，当0≤t≤8时，重合部分是梯形，根据相似三角形的判定与性质，可得梯形的上底、高，根据梯形的面积公式可得答案；当8＜t≤16时，重合部分是三角形，根据相似三角形的判定与性质，可得三角形的高，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论，对称点在x轴的负半轴时，根据G点三角形角平分线的交点，可得G点是内心，根据三角形面积的不同表示方法，可得答案；对称点在x轴的正半轴时，根据轴对称的性质，可得FA″=AF=10，根据相似三角形的判定与性质，可得NF、FT、NT的长，根据待定系数法，可得直线解析式，根据解方程组，可得答案．
解答：解：（1）∠C=∠D=∠AOC=90°，
∴AOCD是矩形．
∵D（-8，6），
∴OA=CD=6，
∵tan∠ABC=2，
∴OB=3，
△AOB沿直线AB翻折，点O落在点E处，
∴△AOB≌△AEB，
∴BE=OB=3，∠AEB=∠AOF=90°，
∵∠EFB=∠OFA，
∴△EFB∽△OFA，
∴
=
=
；
设BF=a，则AF=2a，（2a）2=62+（3+a）2，a=5，
∴F（8，0）；
（2）当0≤t≤8，如图1．
设A′O′交AF于点M．
∵A′O′∥AO，
∴△FMO′∽△FAO，
∴
=
，O′M=
（8-t），
∴S=
（6+O′M） t=-
t2+6t，
当8＜t≤16时，设D′C′交于AF于点N，C′F=8-OC′=8-（t-8）=16-t，
C′N=
（16-t），
S=
C′F•C′N=
t2-12t+96；
（3）对称点A1′落在x轴负半轴上时，如图2，连接FG、OG，作GT⊥AO于T，GS⊥AF于S，
∵点A关于FG的对称点在x轴上
∴∠AFG=∠OFG
∵∠OAG=∠FAG
∴GS=GO′=GT=r，S△AOF=
OF•r+
OA•r+
AF•r=
×8×6，r=2=t；
对称点A″落在x轴正半轴上时，如图3，
FA″=AF=10，OA″=18，AA″=6
∵△A″NF∽△A″OA
∴
=
，NF=
，
FT=1，NT=3，N （9，3）
直线FG′的解析式为y=3x-24，而直线AB的解析式为y=-2x+6，联立求得G′（6，-6）
此时t=6，
综上所述，当t=2或6时，点A关于直线FG的对称点落在x轴上．
∴AOCD是矩形．
∵D（-8，6），
∴OA=CD=6，
∵tan∠ABC=2，
∴OB=3，
△AOB沿直线AB翻折，点O落在点E处，
∴△AOB≌△AEB，
∴BE=OB=3，∠AEB=∠AOF=90°，
∵∠EFB=∠OFA，
∴△EFB∽△OFA，
∴
| BF |
| AF |
| BE |
| AO |
| 1 |
| 2 |
设BF=a，则AF=2a，（2a）2=62+（3+a）2，a=5，
∴F（8，0）；
（2）当0≤t≤8，如图1．
设A′O′交AF于点M．
∵A′O′∥AO，
∴△FMO′∽△FAO，
∴
| O′M |
| 6 |
| 8-t |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
当8＜t≤16时，设D′C′交于AF于点N，C′F=8-OC′=8-（t-8）=16-t，
C′N=
| 3 |
| 4 |
S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
（3）对称点A1′落在x轴负半轴上时，如图2，连接FG、OG，作GT⊥AO于T，GS⊥AF于S，
∵点A关于FG的对称点在x轴上
∴∠AFG=∠OFG
∵∠OAG=∠FAG
∴GS=GO′=GT=r，S△AOF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
对称点A″落在x轴正半轴上时，如图3，
FA″=AF=10，OA″=18，AA″=6
| 10 |
∵△A″NF∽△A″OA
∴
| NF |
| 6 |
| 10 | ||
6
|
| 10 |
FT=1，NT=3，N （9，3）
直线FG′的解析式为y=3x-24，而直线AB的解析式为y=-2x+6，联立求得G′（6，-6）
此时t=6，
综上所述，当t=2或6时，点A关于直线FG的对称点落在x轴上．
点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论的思想是解题关键．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，BG为高，点E、F、D分别在BC、AC、AB上，且EF⊥AC，∠1=∠2，∠ABC=60°，求∠ADG的度数．