Question

如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm．动点E、F分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm²．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）自变量x的取值范围是　0≤x≤4　；

（2）d=　3　，m=　2　，n=　25　；

（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm²？

Answer 1

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】压轴题；动点型．

【分析】（1）根据矩形的对边相等求出BC的长，然后利用路程、速度、时间的关系求解即可；

（2）根据点的运动可知，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，正方形的面积最小，求出d、m的值，再根据开始于结束时正方形的面积最大，利用勾股定理求出BD的平方，即为最大值n；

（3）过点E作EI⊥BC垂足为点I，则四边形DEIC为矩形，然后表示出EI、IF，再利用勾股定理表示出EF²，根据正方形的面积得到y与x的函数关系式，然后把y=16代入求出x的值，即可得到时间．

【解答】解：（1）∵BC=AD=4，4÷1=4，

∴0≤x≤4；

故答案为：0≤x≤4；

（2）根据题意，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，

EF=AB最小，所以正方形EFGH的面积最小，

此时，d²=9，m=4÷2=2，

所以，d=3，

根据勾股定理，n=BD²=AD²+AB²=4²+3²=25，

故答案为：3，2，25；

（3）如图，过点E作EI⊥BC垂足为点I．则四边形DEIC为矩形，

∴EI=DC=3，CI=DE=x，

∵BF=x，

∴IF=4﹣2x，

在Rt△EFI中，EF²=EI²+IF²=3²+（4﹣2x）²，

∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，

∴y=3²+（4﹣2x）²，

当y=16时，3²+（4﹣2x）²=16，

整理得，4x²﹣16x+9=0，

解得，x₁=，x₂=，

∵点F的速度是1cm/s，

∴F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm²．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，（2）根据点的移动，结合二次函数图象找出当EF=AB时正方形的面积为最小值是解题的关键，（3）求出正方形EFGH的面积的表达式是解题的关键．