Question

若n为正整数，关于x的方程x²-（2n+2003）x+n²a_n=0的两个根为α_n，β_n，且

1

αn

+

1

βn

=

3

n

，则a₂₀₀₃=

 

．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系，得α_n+β_n=2n+2003，α_nβ_n=n²a_n．由已知

1

αn

+

1

βn

=

3

n

，通分得

αn+βn

αnβn

=

3

n

，由此可将根与系数关系代入，得出关于a_n与n的关系式，把n=2003代入，可求a₂₀₀₃的值．

解答：解：根据根与系数的关系，得α_n+β_n=2n+2003，α_nβ_n=n²a_n．
又

1

αn

+

1

βn

=

3

n

，则

αn+βn

αnβn

=

3

n

，即

2n+2003

n2an

=

3

n

，
把n=2003代入上式，得

2•2003+2003

20032•a2003

=

3

2003

，解得a₂₀₀₃=

2×2003+2003

3×2003

=1．

点评：考查了一元二次方程根与系数的关系，能够把代数式熟练整理变形．注意题干最后的a₂₀₀₃相当于已知n=2003．