Question

在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：

①求出点A，B，C的坐标．

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，        ∴ PA⊥OA，PK⊥OK．

        ∴∠PAO=∠OKP=90°．

       又∵∠AOK=90°，        ∴  ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

        ∴四边形OKPA是矩形．

        又∵OA=OK，        ∴四边形OKPA是正方形．

 

（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．

过点P作PG⊥BC于G．

∵四边形ABCP为菱形，

∴BC=PA=PB=PC．

∴△PBC为等边三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，

PG=．

sin∠PBG=，即．

解之得：x=±2（负值舍去）．

∴ PG=，PA=BC=2．

易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．

设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c．

据题意得：

解之得：a=， b=， c=．

∴二次函数关系式为：．

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：

        

解之得：u=， v=．

∴直线BP的解析式为：．

过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．

解方程组：

得： ； ．

过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．

  ∴0=．   

  ∴．

∴直线CM的解析式为：．

解方程组：

得： ； ．

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法二：∵，

∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．

延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴点M的纵坐标为．

又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．

∴点M（4，）符合要求．

点（7，）的求法同解法一．

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴点M的纵坐标为．

即．

解得：（舍），．

∴点M的坐标为（4，）．

点（7，）的求法同解法一．

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．