Question

如图所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于点E，PE⊥AC于点F，下列结论：
①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE²+AF²=BP²．
其中结论正确的序号是

1. A.
   只有①②③
2. B.
   只有①③④
3. C.
   只有②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

B
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后求出∠C=∠DBC，再根据等角对等边可得DC=DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE+PF=AB，判断出③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF=BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．
解答：解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵∠ADB=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DC=DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C=30°，故②错误；
连接PD，则S_△BCD=BD•PE+DC•PF=DC•AB，
∴PE+PF=AB，故③正确；
过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，
则∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，
∴∠PBG=∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF=BG，
在△BPE和△BPG中，
，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG=BE，
∴AF=BE，
在Rt△PBE中，PE²+BE²=BP²，
即PE²+AF²=BP²，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选B．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．