Question

把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

，

，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；

（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．　

Answer 1

解：（1）最小的两位“快乐数”10，                     ……………………1分

19是快乐数．                                             ……………………2分

证明：由题意只需证明数字4经过若干次运算后都不会出现数字1．因为

37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．                                    ……………………5分

（2）设三位“快乐数”为，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以，又因为

，所以当时，因为

（1）当，，三位“快乐数”为130，103

（2）当，，

（3）当，，三位“快乐数”为310，301

同理当时，因为， 所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130,103,310,301，680，608，806，860八个. ……………………8分

又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．                                         ……………………10分