Question

如图1．△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，BE、CF交于M，连MA．
（1）若∠BAC=60゜，则①△BAE≌△CAF；②∠CMB=60゜．
（2）求证：AM平分∠BMF．
（3）如图2，若∠BAC=α，直接写出∠AME=

90゜+

1

2

α．

用含α的式子表示）

Answer 1

分析：（1）①求出∠EAB=∠FAC，根据SAS推出两三角形全等即可；②根据全等得出∠FCA=∠EBA，在△CMB中，根据三角形内角和定理得出∠CMB=180°-（∠MCA+∠ACB+∠CBM）=∠BAC，代入求出即可；
（2）过A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，根据全等三角形性质和三角形面积求出AQ=AH，根据角平分线性质得出即可；
（3）根据（1）（2）得出∠CMB=∠BAC=α，∠BMA=∠AMF，即可求出答案．

解答：（1）①解：∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
∴∠EAB=∠FAC，
在△BAE和△CAF中

AB=AC ∠EAB=∠FAC AE=AF

∴△BAE≌△CAF（SAS）．

②解：∵△BAE≌△CAF，
∴∠FCA=∠EBA，
∵在△CMB中，∠CMB=180°-（∠MCA+∠ACB+∠CBM）
=180°-（EBA+∠ACB+∠CBM）
=180°-（∠ACB+∠ABC）
=180°-（180°-∠BAC）
=∠BAC
=60°，
∴∠CMB=60°．

（2）证明：如图1，过A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，
∵△BAE≌△CAF，
∴△BAE的面积=△CAF的面积，CF=BE，
∴

1

2

CF×AH=

1

2

BE×AQ，
∴AH=AQ，
∵AQ⊥BE，AH⊥CF，
∴AM平分∠BMF．

（3）解：∠AME=90°+

1

2

α，
理由是：∵∠CMB=∠BAC=α，AM平分∠BMF，
∴∠EMF=∠CMB=α，∠AMF=∠BMA=

1

2

∠BMF=

1

2

（180°-∠CMB）=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α，
∴∠AME=∠AMF+∠EMF=90°-

1

2

α+α=90°+

1

2

α．
故答案为：90°+

1

2

α．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形的内角和定理，角平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．