Question

如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．

（1）求证：△ADP≌△ECP；

（2）若BP=n•PK，试求出n的值；

（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，

在△ADP和△ECP中，

，

∴△ADP≌△ECP；

（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，

则=，又点P是CD的中点，

∴=，

∵△ADP≌△ECP，

∴AD=CE，

∴==，

∴BP=3PK，

∴n=3；

（3）如图2，作OG⊥AE于G，

∵BM丄AE于，KN丄AE，

∴BM∥OG∥KN，

∵点O是线段BK的中点，

∴MG=NG，又OG⊥MN，

∴OM=ON，

即△MON是等腰三角形，

由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，

设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=，

则AP=，

根据三角形面积公式，BM=，

由（2）得，PB=3PO，

∴OG=BM=，

MG=MP=，

tan∠MOG==，

∴∠MOG=60°，

∴∠MON的度数为120°．