题目内容
已知，等腰△ABC，AB=AC
（1）如图1，BM是△ABC的中线，点N在BM上，且∠ANM=∠MBC，求证：BC=AN；
（2）如图2，点G为外一点，∠BGC=∠BAC，AH⊥BG于H，若BH=7，HG=1，求线段CG的长；
（3）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE共顶点A，AD=AE，顶角∠DAE=∠BAC，点F是线段BE和CD的交点，连AF，请写出∠AFC与∠ADE之间的等量关系，并证明你的结论．
（1）如图1，BM是△ABC的中线，点N在BM上，且∠ANM=∠MBC，求证：BC=AN；
（2）如图2，点G为外一点，∠BGC=∠BAC，AH⊥BG于H，若BH=7，HG=1，求线段CG的长；
（3）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE共顶点A，AD=AE，顶角∠DAE=∠BAC，点F是线段BE和CD的交点，连AF，请写出∠AFC与∠ADE之间的等量关系，并证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质
专题：
分析：（1）延长BM至点D，使DM=BM，根据AM=CM，得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出AD=BC，∠DBC=∠ADB，再根据∠ANM=∠DBC，得出∠ANM=∠ADB，即可得出BC=AN；
（2）延长CG，过点A作AM⊥CG于点M，根据AAS得出CMA≌△BHA，从而得出CM=BH=7，AM=AH，在Rt△AMG和△Rt△AHG中，根据HL得出△AMG≌△AHG，
即可得出GM=GH=1，再根据CG=CM-GM，即可得出答案；
（3）设AE与DF交于点M，根据ASA得出△ABE≌△ACD，得出∠AEB=∠ADC，再根据∠AMD=∠FME，得出△AMD∽△FME，从而得出
=
，再根据∠AMF=∠DME，得出△AMF∽△DME，从而得出∠MED+∠AFC=180°，再根据AD=AE，得出∠ADE=∠MED，即可得出∠ADE+∠AFC=180°．．
（2）延长CG，过点A作AM⊥CG于点M，根据AAS得出CMA≌△BHA，从而得出CM=BH=7，AM=AH，在Rt△AMG和△Rt△AHG中，根据HL得出△AMG≌△AHG，
即可得出GM=GH=1，再根据CG=CM-GM，即可得出答案；
（3）设AE与DF交于点M，根据ASA得出△ABE≌△ACD，得出∠AEB=∠ADC，再根据∠AMD=∠FME，得出△AMD∽△FME，从而得出
| AM |
| DM |
| FM |
| ME |
解答：
解：（1）如图1，延长BM至点D，使DM=BM，
∵AM=CM，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DBC=∠ADB，
∵∠ANM=∠DBC，
∴∠ANM=∠ADB，
∴AN=AD，
∴BC=AN；
（2）如图2，延长CG，过点A作AM⊥CG于点M，
∵AH⊥BG，
∴∠AHB=∠AMC，
∵∠BAC=∠BGC，
∴∠ABH=∠ACM，
在△CMA和△BHA中，
，
∴△CMA≌△BHA（AAS），
∴CM=BH=7，AM=AH，
在Rt△AMG和△Rt△AHG中，
，
∴△AMG≌△AHG（HL），
∴GM=GH=1，
∴CG=CM-GM=7-1=6，
（3）如图3，设AE与DF交于点M，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AMD=∠FME，
∴△AMD∽△FME，
∴
=
，
∴
=
，
∵∠AMF=∠DME，
∴△AMF∽△DME，
∴∠MED=∠MFA，
∴∠MED+∠AFC=180°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠MED，
∴∠ADE+∠AFC=180°．
解：（1）如图1，延长BM至点D，使DM=BM，∵AM=CM，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DBC=∠ADB，
∵∠ANM=∠DBC，
∴∠ANM=∠ADB，
∴AN=AD，
∴BC=AN；
（2）如图2，延长CG，过点A作AM⊥CG于点M，
∵AH⊥BG，
∴∠AHB=∠AMC，
∵∠BAC=∠BGC，
∴∠ABH=∠ACM，
在△CMA和△BHA中，
|
∴△CMA≌△BHA（AAS），
∴CM=BH=7，AM=AH，
在Rt△AMG和△Rt△AHG中，
|
∴△AMG≌△AHG（HL），
∴GM=GH=1，
∴CG=CM-GM=7-1=6，
（3）如图3，设AE与DF交于点M，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
|
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AMD=∠FME，
∴△AMD∽△FME，
∴
| AM |
| FM |
| DM |
| ME |
∴
| AM |
| DM |
| FM |
| ME |
∵∠AMF=∠DME，
∴△AMF∽△DME，
∴∠MED=∠MFA，
∴∠MED+∠AFC=180°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠MED，
∴∠ADE+∠AFC=180°．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．
练习册系列答案
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B、
| ||||||||
C、
| ||||||||
D、若
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