Question

20、甲、乙两位同学进行投篮比赛，每人在相同时间内分别投6场，下表是甲、乙两位同学每场投中篮球个数的统计情况．

下面是甲、乙两位同学的三句对话：
（1）乙：我的投篮成绩比你的稳定；
（2）甲：若每一场我多投中一个球，投篮成绩就比你稳定；
（3）乙：若每场我投中的个数是原来的3倍，而你每场投中的个数是原来的2倍，那么我的投篮成绩的稳定程度会比你更好．请判断他们说法的正确性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）计算两人的平均成绩和方差后分析；
（2）计算甲比乙每场多投一球后的两人的平均成绩和方差分析；
（3）计算乙每场投中的个数是原来的3倍，而甲每场投中的个数是原来的2倍的两人的平均成绩和方差分析；

解答：解：（1）甲的平均成绩=（6+7+5+9+5+10）÷6=7，
甲的方差S_甲²=[（6-7）²+（7-7）²+（5-7）²+（9-7）²+（5-7）²+（10-7）²]÷6≈3.7，
乙的平均成绩=（6+5+6+7+9+9）÷6=7，
乙的方差S_乙²=[（6-7）²+（5-7）²+（6-7）²+（7-7）²+（9-7）²+（9-7）²]÷6≈2.3，
∴乙的说法正确．

（2）甲变化后的成绩为7，8，6，10，6，11，
甲变化后的平均成绩=（7+8+6+10+6+11）÷6=8，
甲变化后的方差S_甲²=[（7-8）²+（8-8）²+（6-8）²+（10-8）²+（6-8）²+（11-8）²]÷6≈3.7，
由甲的方差不变，故甲的说法是错误的；

（3）甲变化后的平均成绩=7×2=14，
甲变化后的方差S_甲²=3.7×4=14.8；
乙变化后的平均成绩=7×3=21，
乙变化后的方差S_乙²=2.3×9=20.7，
∴乙的说法是不正确的．

点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为$overline{x}$，则方差S²=$frac{1}{n}$[（x₁-$overline{x}$）²+（x₂-$overline{x}$）²+…+（x_n-$overline{x}$）²]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．