Question

8．如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧ACB上的一个动点（不与A，B不重合），
（1）设∠ACB的平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由
（2）如图②，设AB=8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）点P位置不会随点C的运动而变化，根据角平分线的定义得到∠ACP=∠BCP，于是得到$\widehat{AP}$=$\widehat{BD}$，即P是劣弧AB的中点．即可得到点P位置不会变化．
（2）如图，连接OP，交AB于E，根据垂径定理得到OP⊥AB，AE=$\frac{1}{2}$AB=4．根据勾股定理得到OE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，PE=2．求得S_△ABP=$\frac{1}{2}×8×2$．于是得到当CP经过圆心O时，如图，C到AB距离最大，即△ABC的AB边上的最大高线是CE=8．求得四边形ACBP的最大面积是40．即可得到结论．

解答 解：（1）点P位置不会随点C的运动而变化，
理由：如图1，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{BD}$，
即P是劣弧AB的中点．
∴点P位置不会变化．

（2）∵△ABC的面积不是定值，△ABP的面积为定值
∴四边形ACBP的面积不是定值．
如图，连接OP，交AB于E，
∵$\widehat{AP}$=$\widehat{PB}$，OP是半径．
∴OP⊥AB，AE=$\frac{1}{2}$AB=4．
∵OA=5．
∴OE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，PE=2．
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}×8×2$．
∴当CP经过圆心O时，如图，C到AB距离最大，即△ABC的AB边上的最大高线是CE=8．
∵AB=8，
∴△ABC的最大面积是32．
∴四边形ACBP的最大面积是40．
综上，四边形ACBP的面积不是定值，它的取值范围是8＜S_{四边形ACBP}≤40．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．