Question

已知：⊙O的直径AB=8，⊙B与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为x，OE的长为y．
（1）如图，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；
（3）设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求y关于x的函数解析式，连接BE，证明△BCE∽△OCB即可；
（2）求公共弦CD的长，作BM⊥CE，垂足为M．通过圆的知识得出BM=0.5CD，转化为求BM的长；分为两种情况：点E在线段OC上时；点E在线段OF上时，求出BM的长；
（3）△OEG为等腰三角形，分为两种情况：点E在线段OC上时；点E在线段OF上时，根据角的关系先求出角的度数，从而求出BC的长度．

解答：解：（1）连接BE，
∵⊙O的直径AB=8，
∴OC=OB=

1

2

AB=4．
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=∠CBO．
∴△BCE∽△OCB．
∴

CE

CB

=

BC

OC

．
∵CE=OC-OE=4-y，
∴

4-y

x

=

x

4

．
∴y关于x的函数解析式为y=4-

1

4

x2，定义域为0＜x≤4．

（2）作BM⊥CE，垂足为M，

∵CE是⊙B的弦，
∴EM=

1

2

CE．
设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD，
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM．
当点E在线段OC上时，EM=

1

2

CE=

1

2

（OC-OE）=

1

2

(4-3)=

1

2

，
∴OM=EM+OE=3

1

2

．
∴BM=

1

2

15

．
∴CD=2CH=2BM=

15

．
当点E在线段OF上时，EM=

1

2

CE=

1

2

（OC+OE）=

1

2

(4+3)=

7

2

．
∴OM=EM-OE=

7

2

-3=

1

2

．
∴BM=

OB2-OM2

=

42-( 1 2 )2

=

3 7

2

．
∴CD=2CH=2BM=3

7

．

（3）△OEG能为等腰三角形，BC的长度为

4

5

π或

12

7

π．

点评：本题难度较大，数形结合，考查了两圆的位置关系、相似三角形的性质和函数结合，做题时一定要分析各种情况，不要遗漏．