Question

如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=

1

2

OB=

1

2

OC，即证明∠OCE=30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．

解答：（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴

AC

=

AD

，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，OE=

1

2

OC，
∴OE=

1

2

OB，
∴点E为OB的中点；

（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴OC=

1

2

AB=4，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴CE=

OC2-OE2

=

16-4

=2

3

，
∴CD=2CE=4

3

．

点评：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．